动态振荡的阻尼
在模型中加入阻尼的两个原因：限制数值振荡、为系统增加物理的阻尼，ABAQUS/Explicit提供的在分析中加入阻尼的方法：体粘性、粘性压力、材料阻尼、离散减振器。
体粘性
体粘性引入了与体积应变相关的阻尼，目的是改进对高速动力学事件的模拟。ABAQUS/Explicit包括体粘性的线性和二次的形式，体粘性参数一般很少修改默认值，仅作为一个数值影响，在材料点的应力中不包括体粘性压力，所以并不作为材料本构响应的一部分。
（1）线性体粘性
默认情况下，总是采用线性体粘性来削弱在单元最高阶频率中的振荡，根据下面的方程，生成一个与体积应变率成线性关系的体粘性压力：
$$p_{1}=b_{1}\rho c_{d}L^{e}\dot \varepsilon_{vol}$$ 式中，$b_{1}$是一个阻尼系数，默认值为0.06；$\rho$是当前的材料密度；$c_{d}$是当前的膨胀波速；$L^{e}$是单元的特征长度；$\dot \varepsilon_{vol}$是体积应变速率。
（2）二次体粘性
仅在实体单元中（除了平面应力单元CPS4R外）包括二次体粘性，并且只有当体积应变速率可压缩时才被用到。体粘性压力是应变速率的二次方：
$$p_{2}=\rho(b_{2}L^{e})^{2} |\dot \varepsilon_{vol}|min(0,\dot \varepsilon_{vol})$$ 式中，$b_{2}$是一个阻尼系数，默认值为1.2。
二次体粘性摸平了一个仅横跨几个单元的振荡波前，引入它是为了防止单元在极端高速梯度下发生破坏。如果在一个单元中，稳定时间增量尺度精确地等于一个膨胀波穿过单元的瞬时时间，如果节点的初速度等于材料的膨胀波速，那么在这个时间增量里，这个单元将发生崩溃至体积为零。二次体粘性压力引入一个阻抗压力以防止单元压溃。
（3）基于体粘性的临界阻尼比
体粘性压力只是基于每个单元的膨胀模式，在最高阶单元模式中的临界阻尼比：
$$\xi=b_{1}-b^{2}_{2}\frac{L^{e}}{c_{d}}min(0,\dot \varepsilon_{vol})$$ 式中，$\xi$是临界阻尼比，线性项单独代表了6%的临界阻尼，而二次项一般是更小的量。
粘性压力
粘性压力载荷一般应用在结构问题或者准静态问题，以阻止低阶频率的动态影响，从而以最少数目的增量步达到静态平衡。这些载荷以如下公式定义的分布载荷形式增加：
$$p=-c_{v}(\overline{v} \cdot \overline{n})$$ 式中，$p$是施加到物体上的压力；$c_{v}$为粘度，在数据行中作为载荷的量值给出；$\overline{v}$是在施加粘性压力面上的点的速度矢量；$\overline{v}$是该点处表面上的单位外法线矢量。对于典型的结构问题，不能指望它吸收掉所有的能量。在典型情况下，使当前动力影响最小化的有效方法是将$c_{v}$设置为$\rho c_{d}$的一个很小的百分数（可能是1%或者2%）。
材料阻尼
材料模型本身可能以塑性耗散或者粘弹性的形式提供阻尼。对于许多应用，这样的阻尼是足够的。另一个选择是使用Rayleigh阻尼，与Rayleigh阻尼相关的阻尼系数有两个：质量比例阻尼$\alpha_{R}$和刚度比例阻尼$\beta_{R}$。
质量比例阻尼$\alpha_{R}$
$\alpha_{R}$因子定义了一个与单元质量矩阵成比例的阻尼贡献，引入的阻尼力源于在模型中节点的绝对速度。可以把结果影响比作模型在做一个穿越粘性液体的运动，这样，在模型中任何点的任何运动都会引起阻尼力。合理的质量比例阻尼不会明显地降低稳定极限。
刚度比例阻尼$\beta_{R}$
$\beta_{R}$因子定义了一个与弹性材料刚度成比例的阻尼。“阻尼应力”$\sigma _{d}$与引入的总体应变速率$\dot \varepsilon$成比例：
$$\widetilde{\sigma} _{d}=\beta_{R} \widetilde{D}^{el} \dot \varepsilon$$ 对于超弹性（hyperelastic）和泡沫（hyperfoam）材料，定义$\widetilde{D}^{el}$为初始弹性刚度。对于其他所有材料，$\widetilde{D}^{el}$是材料的当前弹性刚度。
这一阻尼应力添加到形成动平衡方程时，在积分点处由本构响应引起的应力上，但是在应力输出中并不包括它。对于任何非线性分析，都可以引入阻尼；对于线性分析，提供了标准的Rayleigh阻尼。对于线性分析，刚度比例阻尼与定义一个阻尼矩阵是完全相同的，等于$\beta_{R} \times 刚度矩阵$。必须慎重使用刚度比例阻尼，因为可能使稳定极限明显降低。为避免大幅度降低稳定时间增量，刚度比例阻尼因子$\alpha_{R}$应该小于或者相同于未考虑阻尼时的初始时间增量的量级。
离散减振器
定义单独的减振器单元，每个减振器单元提供了一个与它的两个节点之间的相对速度成正比的阻尼力。优点：能够把阻尼力只施加在自认为有必要施加的节点上。减振器应当总是与其他单元并行使用，例如弹簧或者桁架，因此，不会引起稳定极限的明显下降。
能量平衡
能量输出经常是ABAQUS\Explicit分析的一个重要部分，可以应用在各种能领分量之间的比较，来帮助评估一个分析是否得到了合理的响应。
能量平衡的表述
整体模型的能量平衡：
$$E_{1}+E_{V}+E_{FD}+E_{KE}-E_{W}=E_{total}=constant$$ 式中，$E_{1}$为内能；$E_{V}$为粘性耗散能；$E_{FD}$为摩擦耗散能；$E_{KE}$为动能；$E_{W}$为外加载荷所做的功。这些能量分量的总和为$E_{total}$，它必须是个常数。在数值模型中，$E_{total}$只是近似的常数，一般有小于1%的误差。
内能$E_{1}$
内能$E_{1}$是能量的总和，包括可恢复的弹性应变能$E_{E}$、非弹性过程的能量耗散（例如塑性）$E_{P}$、粘弹性或者蠕变过程的能量耗散$E_{CD}$和伪应变能$E_{A}$：
$$E_{1}=E_{E}+E_{P}+E_{CD}+E_{A}$$ 伪应变能包括储存在沙漏阻力以及在壳和梁单元的横向剪切中的能量。出现大量的伪应变能则表明，必须对网格进行细划或对网格进行其他修改。
粘性能$E_{V}$
粘性能$E_{V}$是由阻尼机制引起的能量耗散，包括体粘性阻尼和材料阻尼。作为一个在整体能量平衡中的基本变量，粘性能不是指在粘弹性或非弹性过程中耗散的那部分能量。
施加力的外力功$E_{W}$
外力功$E_{W}$是向前连续地积分，完全由节点力（力矩）和位移（转角）定义的功，指定的边界条件也对外力功有贡献。
能量平衡的输出
对于整体模型、特殊的单元集合、单独的单元或者在每个单元中的能量密度，都可以要求输出每一种能量值并绘出能量的时间历史。
整个模型能量输出
| 变量名 | 能量值 |
|---|---|
| ALLIE | 内能，$E_{1}$：ALLIE=ALLSE+ALLPD+ALLCD+ALLAE |
| ALLKE | 动能，$E_{EK}$ |
| ALLVD | 粘性耗散能，$E_{V}$ |
| ALLFD | 摩擦耗散能，$E_{FD}$ |
| ALLCD | 粘弹性耗散能，$E_{CD}$ |
| ALLWK | 外力的功，$E_{W}$ |
| ALLSE | 存储的应变能，$E_{E}$ |
| ALLPD | 非弹性耗散能，$E_{P}$ |
| ALLAE | 伪应变能，$E_{A}$ |
| ALLIE | 能量平衡：$E_{TOT}=E_{1}+E_{V}+E_{FD}+E_{KE}-E_{W}$ |
ABAQUS\Explicit能够提供单元水平的能量输出和能量密度输出。
整个单元能量输出变量
| 变量名 | 整个单元能量值 |
|---|---|
| ELSE | 弹性应变能 |
| ELPD | 塑性耗散能 |
| ELCD | 蠕变耗散能 |
| ELVD | 粘性耗散能 |
| ELASE | 伪能量=孔洞（drill）+沙漏能 |
| EKEDEN | 单元的动能密度 |
| ESEDEN | 单元的弹性应变能密度 |
| EPDDEN | 单元的塑性耗散能密度 |
| EASEDEN | 单元的伪应变能密度 |
| ECDDEN | 单元的蠕变应变能密度耗散 |
| EVDDEN | 单元的粘性能密度耗散 |
弹簧和减振器的潜在不稳定性
某些单元类型在ABAQUS\Explict计算时的稳定性并未予以考虑。
具有使分析不稳定的潜在因素的单元：弹簧单元、减振器单元；
不会引起过程不稳定，只会有助于加强分析过程的稳定性的单元：质量单元、转动惯量单元、静水压力流体单元、作为刚体一部分的单元。
一个可能转化为非稳定的分析，为了避免非稳定的发生，可以加入一个接触约束的限制。弹簧如同实体单元等其他单元一样，在分析中会引入一个稳定性要求。每个单元都有基于本单元刚度和质量的最大稳定时间增量，但因为一个弹簧单元本身只有刚度而没有质量，所以它的稳定性中用到的质量和与其连接的其他具有质量的单元的质量有关。由于质量的不确定性，ABAQUS\Explicit不可能计算弹簧单元的稳定时间增量。如果弹簧要求的稳定时间增量比模型其他单元的最小稳定时间增量还小，则弹簧确定了模型的控制稳定时间增量，于是分析可能变得不稳定。
确定稳定时间增量
像对待其他单元一样，可以计算弹簧-质量系统的稳定时间增量，但由于ABAQUS/Explicit在计算稳定时间增量时并不考虑弹簧-质量系统，一旦桁架的稳定时间增量超过了弹簧-质量系统的稳定时间增量，弹簧-质量系统就不再稳定。
识别非稳定性
模型在用ABAQUS/Explicit运行时会产生一个状态文件（.sta），其中包含了弹簧自由端的位移历史和模型的能量历史信息，可以从这些信息中判断不稳定性的来源。
状态文件：质量单元的位移保持负值，并出现了第一个关于分析稳定性的警告信息，警告信息提示SPRINGA单元产生了过大的转动、这个转动并不是指转动自由度（弹簧不具有此自由度），而是指弹簧发生了刚性转动，因此此时质量单元一直在负方向上移动（相当于弹簧已被翻转）。
位移历史：位移历史图上符号之间的距离增加，表明ABAQUS\Explicit使用的时间增量在分析中是增加的。从不切实际的位移，很清楚地看出弹簧-质量系统已经变为不稳定。
用能量来确定非稳定性：状态文件中的动能表示的是整个模型的动能总和。动能不切实际的增长可能指示着分析已经变得不稳定，但没有指出产生问题的区域。最一般的观察能量的方法是在ABAQUS\CAE中建立能量的历史图，能量平衡（ETOTAL）保持常数零，表明解答是稳定的；一个明显的、非恒定的能量平衡则明确指示出解答不再稳定。
消除不稳定性
（1）增加质量
消除弹簧引起的不稳定性的较好方法：增加与弹簧相连的质量。弹簧一般用以模拟刚度，而不是模拟更复杂的连续体反应，弹簧能够精确地模拟刚度，但不占用质量。随着与弹簧相连的质量的增加，弹簧-质量系统的自然频率下降，稳定时间增量增加。如果在与弹簧连接的节点上附加足够的质量，弹簧-质量系统的稳定时间增量将可以保证总大于模型中其他部分的稳定时间增量，弹簧将对结构行为具有理想的影响而又不控制分析的稳定性。
（2）考虑阻尼的影响
减振器单元常常与弹簧单元联合运用，为模型中离散的点提供组你爱。减振器单元影响分析的稳定时间增量，但ABAQUS/Explicit在计算稳定时间增量时并不考虑减振器。实际上，与弹簧并列使用的减振器总是降低弹簧的实际稳定时间增量。另一方面，ABAQUS/Explicit考虑材料阻尼对稳定时间增量的影响。
无材料阻尼时：
$$\Delta t_{stable}=\frac{2}{\omega}$$ 有材料阻尼时：
$$\Delta t_{stable}=\frac{2}{\omega}[(\sqrt{1+\xi ^{2}})-\xi]$$ 式中，$\xi$是施加阻尼与临界阻尼之比。有材料阻尼时的稳定时间增量总比无材料阻尼时的小。一般来说，因为不知道临界阻尼值，$\xi$是不可能计算出来的，因此很难事先知道$\Delta t$为何值时分析会变得不稳定。
（3）控制时间增量
如果在弹簧节点上附加质量不符合物理实际，可以通过控制时间增量来保持稳定，固定时间增量（fixed time incrementation）能够使ABAQUS/Explicit一直使用分析过程初始时计算得到的稳定时间增量。为了包括其他的安全系数，还可以设置一个时间增量的比例系数。
小结
- 一般地，ABAQUS/Explicit应用质量比例阻尼来减弱低阶频率振荡，并应用刚度比例阻尼来减弱高阶频率振荡；
- 在一些情况下，ABAQUS/Explicit分析可能会成为不稳定的。